Muestreo e Inferencia Estadística

Matemáticas Aplicadas a las CC.SS.

Muestreo e Inferencia Estadística - Intervalos de confianza para la proporción

Trataremos aquí cómo aproximar una proporción (desconocida) en una población partiendo de una proporción muestral, y cómo acotar el error cometido en esa aproximación.

Conceptos básicos

En una población desconocemos la proporción de individuos de un colectivo que cumple una determinada condición.
Extraemos una muestra de tamaño \(n\) suficientemente grande y obtenemos la proporción muestral \(\widetilde{p}\).
El intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional, correspondiente a esa muestra, con un nivel de confianza \(p = 1 -\alpha\), es:
\[\left(\widetilde{p}-z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\frac{\widetilde{p}\left(1-\widetilde{p}\right)}{n}} \,,\widetilde{p}+z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\frac{\widetilde{p}\left(1-\widetilde{p}\right)}{n}}\right)\]

Y en el que se denomina error máximo admisible a:

\[E=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\frac{\widetilde{p}\left(1-\widetilde{p}\right)}{n}}\]

Abajo tenemos un gráfico que nos muestra cuál es el intervalo de confianza para la proporción poblacional, en las condiciones señaladas.

Practiquemos ahora lo básico con estos intervalos.

Ejemplo 1

Enunciado.

En una encuesta representativa realizada a 180 personas de una comunidad se obtuvo que 81 de ellas van al cine los fines de semana. Queremos obtener un intervalo de confianza, al 97%, para la proporción de asistencia al cine los fines de semana en dicha comunidad.

Cuestiones 1

Elijamos razonadamente la respuesta correcta de entre las opciones ofrecidas. En caso de duda, al situar el puntero sobre el interrogante obtendremos una pequeña ayuda.

  1. El tamaño muestral \(n\) es...    pregunta
  2. La proporción muestral \(\widetilde{p}\) es...    pregunta
  3. El valor crítico \(z_{\alpha/2}\) asociado a \(p = 1 -\alpha=0.97\)   es...    pregunta
  4. El intervalo de confianza pedido es...    pregunta

Vamos a centrarnos ahora en el estudio del error cometido en la obtención de los intervalos de confianza.

Arriba tenemos un gráfico, creado con Geogebra, que nos muestra un intervalo de confianza, pero centrándose en el error máximo cometido al estimar con él la proporción poblacional.

Ejemplo 2

Enunciado

Con los datos de una muestra aleatoria se estima que el porcentaje de hogares conectados a Internet es del 30%, con un error máximo en la estimación de 0.06 y un nivel de confianza del 93%.

Cuestiones 2

Elijamos razonadamente la respuesta correcta de entre las opciones ofrecidas. En caso de duda, al situar el puntero sobre el interrogante obtendremos una pequeña ayuda.

  1. La proporción muestral \(\widetilde{p}\) es...    pregunta
  2. Para un nivel de confianza del 93% el valor crítico es...    pregunta
  3. El tamaño muestral \(n\) es...    pregunta

Limpieza

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