Muestreo e Inferencia Estadística

Matemáticas Aplicadas a las CC.SS.

Muestreo e Inferencia Estadística - Teorema Central del Límite

Vamos a analizar cómo es la distribución de las medias muestrales para una variable aleatoria definida en sobre una población. A continuación veremos que las medias muestrales de todas las variables se distribuyen siguiendo una ley normal, bajo ciertas condiciones, incluso aunque la característica de partida no.

Conceptos básicos

La distribución de las medias muestrales bajo ciertas condiciones, sigue una ley normal y sus parámetros y los de la población guardan una estrecha relación. Es lo que se conoce como el Teorema Central del Límite:

Sea \(X\) una v.a. con media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma\).

Tomemos las muestras de tamaño \(n\) y sea \(\overline{X}\) la distribución de las medias muestrales.

Si \(X\) es normal o, en cualquier caso, si \(n\) es suficientemente grande (\(n>30\)) se verifica que:

\[\overline{X}\text{ es normal con}\left|\begin{array}{ll}\text{Media}&\overline{\mu}=\mu\\[2mm]\text{Desviación típica}&\overline{\sigma}=\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\\\end{array}\right.\]

Abajo tenemos la distribución normal típica, comúnmente denominada \(Z\), que ya se estudió en el Primer Curso

Ya vimos entonces que una gran cantidad de características y variables se distribuyen de forma normal.

Repaso

Cuestiones 1

Aprovechando el gráfico dinámico anterior, realizado con Geogebra, repasemos los cálculos de probabilidades con la distribución normal típica.

  1. La probabilidad   p ( z < 1.25 )  es...    pregunta
  2. La probabilidad   p ( z > -1.3 )  es...    pregunta
  3. La probabilidad   p ( -1.5 < z < 2 )  es...    pregunta
  4. El área total encerrada bajo la curva es...    pregunta

Ejemplo

Enunciado

Las naranjas de una cosecha tienen un peso medio de 145 gr. y una desviación típica de 30 gr. Las naranjas se ponen a la venta en cajas de 100 naranjas. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio de las naranjas de una caja sea inferior a 140 gr.?

Cuestiones 2

Vamos a responder a las siguientes cuestiones, referidas ese contexto:

  1. La media de la población ( \(\mu\) ) es...    pregunta
  2. La desviación típica de la población ( \(\sigma\) ) es...    pregunta
  3. Como  n  es suficientemente grande ( \(n>30\) ) la distribución de las medias muestrales...    pregunta
  4. La media de las medias muestrales ( \(\overline{\mu}\) ) es...    pregunta
  5. La desviación típica de las medias muestrales (\(\overline{\sigma}\)) es...    pregunta
  6. La probabilidad pedida es \(p\left[X<140\right]\):    pregunta
  7. La probabilidad pedida es \(p\left[\overline{X}<140\right]\):    pregunta
  8. La probabilidad pedida es la misma que...    pregunta
  9. La probabilidad pedida es...:    pregunta

Limpieza.

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