Muestreo e Inferencia Estadística

Matemáticas Aplicadas a las CC.SS.

Muestreo e Inferencia Estadística - Intervalos de confianza para la media

Trataremos aquí cómo aproximar la media (desconocida) de una población partiendo de una media muestral, y cómo acotar el error cometido en esa aproximación.

Conceptos básicos

Sea \(X\) una v.a. en una población de la que desconocemos la media \(\mu\) y conocemos la desviación típica \(\sigma\).
Extraemos una muestra de tamaño \(n\), que será suficientemente grande ( \(n >30\) ) en caso de no ser \(X\) normal, y obtenemos la media muestral \(\overline{x}\).
El intervalo de confianza para estimar \(\mu\) correspondiente a esa muestra, con un nivel de confianza \(p=1-\alpha\), es:
\[\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt n} \,,\overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt n} \right) \]

Y en el que se denomina error máximo admisible a:

\[E=z_{\alpha / 2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt n}\]

Abajo tenemos un gráfico que nos muestra cuál es el intervalo de confianza para la media poblacional, en las condiciones señaladas.

Practiquemos ahora lo básico con estos intervalos.

Ejemplo 1

Enunciado.

En una población una variable aleatoria sigue una ley normal con desviación típica igual a 8. Se ha elegido, al azar, una muestra de tamaño 100 y su media ha sido 40. Queremos obtener un intervalo de confianza, al 93%, para media de la población.

Cuestiones 1

Elijamos razonadamente la respuesta correcta de entre las opciones ofrecidas. En caso de duda, al situar el puntero sobre el interrogante obtendremos una pequeña ayuda.

  1. La distribución de las medias muestrales,\(\overline{X}\), ¿es normal?    pregunta
  2. El valor de  x  es...    pregunta
  3. El valor de  n  es...    pregunta
  4. Para un nivel de confianza del 93% el valor crítico es...    pregunta
  5. El intervalo de confianza pedido es...    pregunta
  6. Si aumentamos el tamaño muestral, el intervalo de confianza...    pregunta
  7. Si aumentamos el nivel de confianza, el intervalo de confianza...    pregunta

Vamos a centrarnos ahora en el estudio del error máximo cometido en la obtención de los intervalos de confianza.

Arriba tenemos un gráfico, creado con Geogebra, que nos muestra un intervalo de confianza, pero centrándose en el error máximo cometido al estimar con él la media poblacional.

Ejemplo 2

Enunciado

En una población una variable aleatoria sigue una ley normal con desviación típica igual a 12. Con un nivel de confianza del 90% se ha construido un intervalo de confianza para la media poblacional, que ha resultado ser ( 36.71 , 43.29 ).

Cuestiones 2

Elijamos razonadamente la respuesta correcta de entre las opciones ofrecidas. En caso de duda, al situar el puntero sobre el interrogante obtendremos una pequeña ayuda.

  1. La media muestral \(\overline{x}\) es...    pregunta
  2. El valor crítico \(z_{\alpha/2}\) correspondiente a \(p = 1 -\alpha=0.90\) es...    pregunta
  3. El error máximo cometido es...    pregunta
  4. El tamaño muestral \(n\) es...    pregunta

En esa misma población se ha tomado una muestra de 64 individuos, obteniéndose un intervalo con 5.64 unidades de amplitud.

  1. El error máximo cometido ahora es...    pregunta
  2. El valor crítico corespondiente a este intervalo es...    pregunta
  3. El nivel de confianza es...    pregunta
  4. Si queremos aumentar el nivel de confianza sin incrementar el error debemos...    pregunta

Limpieza

¿Desea volver a responder a las cuestiones anteriores? Pulse en el siguiente botón y se borrarán todas las respuestas que hubiera: