! Población finita - Muestreo e Inferencia Estadística

Muestreo e Inferencia Estadística

Matemáticas Aplicadas a las CC.SS.

Muestreo e Inferencia Estadística - Población finita

Vamos en este bloque a estudiar la distribución de las medias muestrales en poblaciones finitas, y la comparación de los parámetros de ésta con los de la población. Demos un repasito a la teoría.

Conceptos básicos

Vamos a estudiar la relación de los parámetros de la población con los de la distribución de las medias muestrales:

Si \(X\) es una v.a. con media \(\mu\) y desviación típica \(\sigma\) en una población de tamaño \(N\) y si \(\overline{X}=\left\{\overline{x}_i\right\}\) es la distribución de las medias muestrales de tamaño \(n\) entonces:
  • Ambas tienen la misma media:

    \[\overline{\mu}=\mu\]

  • Si las muestras se toman con reemplazamiento es: \[\overline{\sigma}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]
  • Si las muestras se toman sin reemplazamiento es: \[\overline{\sigma}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\cdot\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\]
donde \(\overline{\mu}\) y \(\overline{\sigma}\) son la media y la desviación típica, respectivamente, de la distribución de las medias muestrales \(\overline{X}\).

Ejemplo 1

Enunciado y desarrollo

Consideremos una variable aleatoria \(X=\{1\,,2\,,3\}\).

  1. Hallemos la media y la varianza de la población:

    \(\mu=\dfrac{\sum{x_i}}{N}= \dfrac{1+2+3}{3}=2\)

    \(\sigma^2=\dfrac{\sum{x_i^2}}{N}-\mu^2=\dfrac{1^2+2^2+3^2}{3}-2^2=\dfrac{4}{3}-4=\dfrac{2}{3}\)

  2. Obtengamos todas las medias de tamaño dos con reemplazamiento, así como la distribución de las medias muestrales:

    \(\mathscr{M}=\{ 1-1\,, 1-2\,, 1-3\,, 2-1\,, 2-2\,, 2-3\,, 3-1\,, 3-2\,, 3-3 \}\)

    \(\overline{X}=\{ 1 \,, 1.5 \,, 2 \,, 1.5 \,, 2 \,, 2.5 \,, 2 \,, 2.5 \,, 3 \}\)

  3. Calculemos la media y la varianza de las medias muestrales:

    \(\overline{\mu}=\dfrac{1+1.5+2+1.5+2+2.5+2+2.5+3}{9}= \dfrac{18}{9}=2\)

    \(\overline{\sigma}^2=\dfrac{1^2+1.5^2+2^2+1.5^2+2^2+2.5^2+2^2+2.5^2+3^2}{9}-2^2=\dfrac{39}{9}-4=\dfrac{1}{3}\)

  4. Comparemos los paramétros anteriormente obtenidos:

    \(\overline{\mu}=\mu=2\)

    \(\overline{\sigma}^2=\dfrac{\sigma^2}{n}=\dfrac{2}{3}:2=\dfrac{1}{3}\)

Cuestiones 1

Vamos a responder a las siguientes cuestiones relacionadas con el ejemplo:

  1. Con \(\overline{X}\) designamos a    pregunta
  2. La media de las medias muestrales es...    pregunta
  3. Con \(\overline{x}\) designamos a...    pregunta
  4. Con \(n\) designamos al    pregunta

Ejemplo 2

Cuestiones 2

El número de aparatos de TV que tienen cuatro personas en sus hogares es \(X=\{ 0 \,, 1 \,, 2 \,, 3 \}\). Consideremos el conjunto \(\mathscr{M}\) de todas las muestras de tamaño 2 con reemplazamiento. Vamos a responder a las siguientes cuestiones, referidas a estos datos:

  1. La media poblacional es...    pregunta
  2. La varianza de la población es...    pregunta
  3. El número \(\overline{x}=1.5\) se refiere a...    pregunta
  4. ¿Cuántos números componen la distribución de las medias muestrales?    pregunta
  5. El número \(\overline{\mu}\) es    pregunta
  6. La varianza de la distribución de las medias muestrales \(\overline{\sigma}^2\) es...    pregunta
  7. ¿Qué relación hay entre la media de la población y la de las medias muestrales?    pregunta
  8. ¿Qué relación hay entre la varianza de la población y la de las medias muestrales?    pregunta

Limpieza.

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