Ejemplo 1

Enunciado

Lanzamos un dado, con sus seis caras numeradas del 1 al 6, dos veces, anotando el número tras cada lanzamiento. Consideremos en esta experiencia los sucesos:

\(A\) = " sale un doble " , \(B\) = " la suma es 7 " y \(C\) = " el primero es un 5 "

Cuestiones

Vamos a ir examinado las siguientes preguntas, situadas en el contexto anterior. Algunas ya tienen su respuesta, contestemos nosotros a las otras. Puede ser útil echar un vistazo a la diapositiva 4 de la panorámica. Y en caso de duda, al situar el puntero sobre el interrogante obtendremos una pequeña ayuda.

1. ¿Cuál es es el espacio muestral de este experimento?
   El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles: todas las parejas que podremos formar con los números que van del 1 al 6. \[E=\left\{\begin{array}{ccc}1-1 & \ldots & 1-6\\ \ldots & \ldots & \ldots\\6-1 & \ldots & 6-6\end{array}\right\}\]
2. El número de resultados que contiene el espacio muestral es ...     12 6 36 infinito  
3. ¿Cuál es la probabilidad del suceso \(A\) ?
   Como \(A=\{1-1\,,\,2-2\,,3-3\,,\,4-4\,,5-5\,,6-6\}\) , por Laplace: \(p\left(A\right)=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}\).
4. Las probabilidades de los sucesos \(B\) y \(C\) son, respectivamente,...     5/6 y 1 ambas 1/6 ambas 6 distintas  
5. ¿Cuál es la probabilidad de \(\overline{A}\)?
   Contamos ( 36 − 6 ) o aplicamos la probabilidad del contrario:
   \[p\left(\overline{A}\right)=1-p\left(A\right)=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}\]
6. La probabilidad de \(\overline{C}\) es ...     5 30 30 / 36 30 / 6  
7. ¿Cuál es la probabilidad de \(A\cap B\) ?
   Como \(A\cap B = \emptyset\) tenemos que es \(p\left(A\cap B\right)=0\).
8. La probabilidad de \(A\cap C\) es ...     1 12 / 36 11 / 36 1 / 36  
9. ¿Cuál es la probabilidad de \(A\cup B\)?
   Aplicamos la fórmula:
   \[p\left(A\cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right)-p\left(A\cap B\right)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-0=\dfrac{1}{3}\]
10. La probabilidad de \(A\cup C\) es ...     11 / 36 12 / 36 11 1 / 36  

Ejemplo 2

Enunciado

En una experiencia aleatoria sabemos que:

\[p\left(A\right)=0.40 ~,~ p\left(B\right)=0.70 ~,~p\left(A\cup B\right)=0.95\]

Cuestiones

Vamos a ir examinado las siguientes preguntas, situadas en el contexto anterior. La primera tiene ya su respuesta, contestemos nosotros a las otras. Puede ser útil echar un vistazo a las diapositivas 5 y 6 de la panorámica. Y en caso de duda, al situar el puntero sobre el interrogante obtendremos una pequeña ayuda.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran ambos?
   Eso es \(p\left(A\cap B\right)\) . La obtendremos de la probabilidad de la unión, despejando:
   \[p\left(A\cap B\right)= p\left(A\right)+p\left(B\right)-p\left(A\cup B\right)=0.40+0.70-0.95=0.15\]

Ahora vamos a calcular las probabilidades de \(\overline{A}\cap B\) , \(\overline{A\cap B}\) , \(A\cap\overline{B}\) ,... Para estos menesteres es buena idea organizar las probabilidades en una tabla de contingencia:

Probabilidades

	\(A\)	\(\overline{A}\)
\(B\)	0.15	0.55	0.70
\(\overline{B}\)	0.25	0.05	0.30
	0.40	0.60	1

2. La probabilidad de que ocurra \(A\) pero no \(B\) es ...     0.15 0.55 0.25 0.05  
3. La probabilidad de que no ocurra \(A\) pero sí \(B\) es ...     0.15 0.55 0.25 0.05  
4. La probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos es ...     0.15 0.55 0.25 0.05  
5. La probabilidad de que ocurra sólo uno de los dos es ...     0.80 0.70 0.60 0.95  
6. La probabilidad de que ocurra alguno de los dos es ...     0.80 0.70 0.60 0.95  

Limpieza.

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