Representación de Gráficas

El gráfico

El gráfico anterior, construido con Geogebra, nos muestra una gráfica compuesta por un trozo de recta y un trozo de parábola. Es la gráfica de la función definida a trozos:

\[f(x)=\left\{ \begin{array}{ccr}x+5 & \text{si} &x <-1\\ x^2-2x & \text{si} & x \geq-1\end{array}\right.\]

Guía

Para introducir una función definida a través de dos fórmulas se introduce el siguiente código (en el campo de entrada o en una celda):

f(x) = Si( x < a , p(x) , x ≥ a , q(x) )

El esquema de introducción ahora es más simple que en las antiguas versiones: se introduce el dominio del trozo y tras la coma la fórmula. Y repetimos esto tantas vecs como trozos o partes haya.

1. En nuestro caso hemos introducido:
   f(x) = Si( x < −1 , x + 5 , x ≥ −1 , x^2 − 2 x )
   P = ( −1 , f(−1) )
2. La labor que queda es ya de adorno: pinchando en la gráfica, con el botón derecho accedemos al menú contextual Propiedades. Ahí tenemos una ventana desde la que podemos acceder las propiedades de todos los objetos.
   En la ficha Color se ha elegido: azul para la curva y el punto.
   En la ficha Básico hemos desmarcado Expone rótulo para ambos.
   
3. Ahora, con el botón derecho sobre el fondo de la zona gráfica accedemos a Propiedades » Color de fondo y se ha elegido un amarillo.
4. Por último, con la rueda del ratón (o del touchpad) se ha elegido un zoom adecuado y se ha movido toda la zona gráfica pinchando en su fondo y arrastrando el puntero con la tecla Control pulsada.
5. En un nivel más avanzado, poodemos añadir un texto que muestre la fórmula de la función. Podemos olvidarnos por ahora de él ;-). Pero se consigue con:

   Texto(f,true, true)

Cuestiones

Vamos a responder a las siguientes cuestiones planteadas sobre la función cuya gráfica tenemos arriba:

\[f(x)=\left\{ \begin{array}{ccr}x+5 & \text{si} &x\leq-1\\ x^2-2x & \text{si} &x>-1\end{array}\right.\]

1. El dominio de la función es...     el intervalo X que se ve ℝ vacío ℝ − { −1}  
2. Para x = −1 la función es...     continua discontinua de salto finito discontinua de salto infinito derivable  
3. Los límites de   f(x)   para x → −1- y para x → −1+ son, respectivamente:     ambos infinitos 3 y 4 4 y 3 ambos y = 4  
4. ¿Qué asíntotas verticales tiene la curva?     Ninguna x = −1 x = 0 y = 4  
5. ¿Qué asíntotas horizontales tiene la curva?     Ninguna y = −1 y = 4 x = −1  
6. Los límites de la función para x → +∞ y x → −∞ son, respectivamente     +∞ y +∞ −∞ y −∞ −∞ y +∞ +∞ y −∞  
7. La derivada se anula en su máximo relativo...     Sí No por ser punto anguloso No, pues no es derivable No hay máximo relativo  
8. El mínimo relativo de la función es...       No hay mínimo relativo El vértice de la parábola −∞ ( −8 , −3 )  
9. La función es creciente en...     todo su dominio ( −∞ , 4 ) y ( -1 , +∞ ) ( −∞ , −1 ) y ( 1 , +∞ ) ( −1 , 1 )  
10. La función es decreciente en...     todo su dominio ( −∞ , 4 ) y ( -1 , +∞ ) ( −∞ , −1 ) y; ( 1 , +∞ ) ( −1 , 1 )  

Ampliación.

Introducir una función definida con tres trozos era antes complicado, pues había que anidar dos condiciones. Ahora, por ejemplo, con

f(x) = Si(x < −1, x + 3, −1 ≤ x ≤ 2, x² + x ,x>2, −x + 8)

conseguimos la función definida como sigue:

\[f(x)=\left\{ \begin{array}{ccr}x+3 & \text{si} &x\leq-1\\ x^2+x & \text{si} & -1\leq x\leq2\\ -x+8 & \text{si} & x>2 \end{array}\right.\]

Redefinamos la función con la fórmula anterior en el campo de entrada.

1. En x = −1 la función...     es continua tiene un punto anguloso tiene un salto es derivable  
2. En el máximo relativo la función...     es continua tiene un punto anguloso tiene un salto es derivable  
3. En el mínimo relativo la derivada...     no existe se anula tiene un vértice es horizontal  

Limpieza.

¿Desea volver a responder a las cuestiones anteriores? Pulse en el siguiente botón y se borrarán todas las respuestas que hubiera: