Producto de matrices

Por pealfaMatemáticas Aplicadas II

Pasamos en la publicación de hoy a analizar el producto de matrices. Interesante operación que no es tan simple como la suma y que desconcierta cuando la descubres.

Es muy importante observar cómo son las dimensiones de las matrices que se multiplican y el orden en que se efectúa la operación, porque el producto no tiene la propiedad conmutativa. Cuidado: esto quiere decir que el producto puede cambiar (o incluso no existir) si cambiamos el orden al multiplicar, pero en ocasiones obtenemos el mismo resultado (se dice entonces que el las matrices conmutan).

Creo que me estoy adelantando. Paso directamente a la definición:

DEFINICIÓN

Si \(A\) es una matriz de dimensiones \(m\times p\) y \(B\) es de dimensiones \(p\times n\), la matriz producto \(C=A\cdot B\) es la de dimensiones \(m\times n\) con:\[c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\ldots+a_{ip}b_{pj}\]

Para asimilarlo, practicaremos con este sencillo ejercicio:

DEFINICIÓN

Consideremos las matrices\[A=\left(\begin{array}{rrr}1&-1&3\\2&2&0\end{array}\right)~,~B=\left(\begin{array}{cr}1&-1\\0&2\\3&1\end{array}\right)~,~C=\left(\begin{array}{cr}1&-1\\1&0\end{array}\right)\]Calculemos\[ A\cdot C ~,~ A \cdot B ~,~ B \cdot A\]

Si es la primera vez que te acercas a estas cuestiones, os propongo trabajar las ideas y los ejemplos conmigo a través del siguiente vídeo. Todo trabajado desde cero, fundamentando la definición:

¿A que ahora ha quedado todo claro? Sí, seguro que sí. Pero es importante practicar para asentar el algoritmo.

Os propongo un par de sencillas cuestiones para comprobar nuestras habilidades.

CUESTIÓN 1

Dadas las matrices
\[A=\left(\begin{array}{rrr}3&0&-2\\-1&5&2\\-1&4&1\end{array}\right)\quad,\quad B=\left(\begin{array}{rrr}2&-1&3\\5&1& -1\end{array} \right)\]
si ponemos
\[C=A \cdot B^{\,t}\]
¿cuáles son las dimensiones de \(C\) ¿cuánto es \(s=c_{21}+c_{32}\)?

3×2 y \(s=-3\).

❓

No puede efectuarse el producto.

2×3 y \(s\) no existe.

✍

3×2 y \(s=3\).

CUESTIÓN 2

En \(D = B + C \cdot A^{t}\) sabemos que \(A\) tiene 3 columnas, \(C\) tiene 2 filas y \(D\) tiene 4 columnas. Así las respectivas dimensiones de \(A\,,B\,,C\,,D\) son:

No es posible realizar la operación.

❓

2×3, 2×4, 3×2, 2×4.

Indeterminados.

✍

4×3, 2×4, 2×3, 2×4.

Importante recordar:

  1. En un producto el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda.

  2. El producto de matrices no es conmutativo.

Sin más que añadir por hoy, te agradezco la visita y te espero en la siguiente entrega dedicada a las matrices.

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