Puntos y vectores en el espacio de tres dimensiones

Por pealfaMatemáticas II

Hola. Comenzamos con esta entrada una serie dedicada al estudio de la geometría del «Espacio Afín».

En la carpeta de recursos tienes abundantes recursos para su estudio: el texto con el desarrollo, numerosos ejemplos y autoevaluación, el esquema con las ideas fundamentales y las fórmulas, exámenes resueltos, problemas propuestos en pruebas de acceso,…

Vamos a introducirnos en el estudio de la geometría analítica del espacio de tres dimensiones. Lo habitual es que los estudiantes de matemáticas hayan estudiado previamente la geometría analítica del plano. Y así, la mayoría de libros y manuales pasan rápidamente sobre los conceptos básicos, considerando que apenas supone añadir un número más en las coordenadas (componentes) de los puntos (vectores). Pero algunos aprendices tienen dificultades para captar esa tercera dimensión y necesitan una introducción detallada.

Propongo como punto de partida estos sencillos ejercicios:

EJERCICIO 1

Dibujemos en unos ejes coordenados XYZ los puntos con las siguientes coordenadas:

  1. \( A\left(2\,,0\,,0\right) \,,B\left(0\,,3\,,0\right) \,,C\left(0\,,0\,,4\right) \)
  2. \( D\left(2\,,3\,0\right) \,,E\left(0\,,3\,,4\right) \,, F\left(2\,,0\,,4\right) \)
  3. \( G\left(2\,,3\,,4\right) \)

EJERCICIO 2

  1. Escribe unas ecuaciones que caractericen a los los ejes y planos coordenados.
  2. ¿Qué ecuación caracteriza a todos los puntos del plano \(GCEF\)? ¿Y al plano \(AFGD\)?

EJERCICIO 3

Si \( A\left(1\,,2\,,3\right) \text{ y } B\left(2\,,1\,,5\right) \)¿Cuáles son las componentes del vector \(\overrightarrow{AB}\)?.

EJERCICIO 4

Si \( A\left(1\,,0\,,2\right) \,, B\left(2\,,1,-1\right)\,,C\left(2\,,3\,,0\right) \)¿Cuáles son las coordenadas del punto \(D\) tal que \(ABCD\) es un paralelogramo?

En los siguientes vídeos nos adentramos despacito en estas cuestiones, de modo que el primero resolveremos los dos primeros ejercicios y el segundo los dos últimos:

Puntos en el espacio tridimensional Vectores en el espacio tridimensional

Espero que haya sido una exposición clarificadora de los fundamentos. Si es así estaremos mejor preparados para lo que sigue.

Gracias y hasta la vista

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