En la anterior entrada analizamos la Regla de Cramer. Presenta dos inconvenientes: sólo se refiere a sistemas con igual número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de los coeficientes debe ser no nulo para poder ser aplicación.
Hoy vamos a estudiar un teorema global que permite analizar cualquier sistema de ecuaciones lineales comparando el rango de la matriz de coeficientes y la matriz del sistema o matriz ampliada: el Teorema de Rouché. Aunque tiene un «ligero» inconveniente: no proporciona las soluciones cuando es compatible. No obstante, esto puede soslayarse y aplicar la Regla de Cramer a un sistema equivalente.
Pero no nos adelantemos y comencemos con el enunciado:
Aunque el teorema no proporciona directamente un algoritmo de resolución, sí podemos determinar uno usando los resultados sobre los rangos de las matrices:
PROCEDIMIENTO DE RESOLUCIÓN
Supongamos que \(\mathrm{rg}\left(C\right)=\mathrm{rg}\left(A\right)=r\): encontramos un menor principal \(\Delta_r\neq0\) en la matriz de coeficientes. Como el rango de la matriz ampliada también es \(r\), las ecuaciones correspondientes a las filas de las que sale el menor principal son combinación lineal de las \(r\) filas de donde aparece. Nos quedamos así con un sistema equivalente de r ecuaciones.
Si es \(r=n\) se trata de un sistema de Cramer. Y si es \(r<n\), entonces pasamos las \(n-r\) incógnitas correspondientes a las columnas de las que no sale el menor principal al segundo miembro: ¡son incógnitas libres o parámetros! De esta manera nos queda un sistema con \(r\) incógnitas, correspondientes a la columnas de las que sale el menor principal y con determinante de coeficientes \(\Delta_r\neq0\): ¡podemos aplicar a este sistema equivalente también la Regla de Cramer!
Un poco lioso, ¿verdad? Vamos a estudiarlo en un caso concreto, resolviendo el siguiente ejercicio:
Bueno, tanto una lectura pormenorizada del teorema como una resolución detallada del ejercicio la puedes encontrar en el siguiente vídeo:
Espero que haya quedado todo clarito. En la siguiente entrega resolveremos un problema típico usando este interesante e importante teorema.
Gracias y hasta la vista.