Regla de Cramer

¡Hola! Aquí seguimos con los sistemas de ecuaciones lineales. Tras estudiar la expresión de los sistemas hoy vamos a ver un importante teorema: la denominada Regla de Cramer. Con ella se hace notar la estrecha relación que hay entre sistemas y determinantes, ofreciendo una fórmula que expresa a través de ellos las soluciones de ciertas ecuaciones.

Sin más prolegómenos vamos a enunciarla:

Consideremos un sistema de \(n\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas (\(x_1\,\ldots,x_n\)).
Si la matriz de los coeficientes tiene determinante distinto de cero, entonces el sistema es compatible determinado.
Y, en ese caso, la solución viene dada por \[x_j=\frac{|C_j|}{|C|}\quad j=1,\ldots,n\] donde \(C\) designa a la matriz de los coeficientes y \(C_j\) designa a la matriz que se obtiene al sustituir en la columna por la matriz columna de los términos independientes.

Observemos que el teorema se refiere a sistemas que tienen igual número de ecuaciones que de incógnitas y que para aplicarlo deber ser no nulo el determinante de los coeficientes. Por ello se les denomina «Sistemas de Cramer».

Vamos a aplicarlo en el siguiente sencillo ejercicio:

Clasifiquemos y resolvamos:\[\left\{ \begin{array}{rcc} 3x+2y&=&5\\[1mm] -x+4y& =& 7 \end{array} \right.\]

Bueno, tal vez vayamos demasiado deprisa, ¿no? Pues en el siguiente vídeo se comenta todo detenidamente y se resuelve ese ejercicio:

Espero que no haya sido una exposición aburrida y te haya sido de provecho.

En la próxima publicación seguiremos con estas cuestiones. Gracias.

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