Propiedades de los determinantes

Por pealfaMatemáticas II

Hola. En la entrada de hoy vamos a analizar algunas de las propiedades básicas de los determinantes. Hay muchas más que, tal vez, alguien considere imperdonable que no esté en la lista: desarrollo por una línea, descomposión en suma por líneas, … Pero alargaría excesivamente la exposición.

Las que están son todas fundamentales y, como veremos, en algunas de ellas, deducimos criterios que permiten asegurar que un determinante es cero. Vamos a enunciarlas:

  1. El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su traspuesta.

  2. El determinante de un producto de matrices cuadradas coincide con el producto de los determinantes de los factores.

  3. Al intercambiar dos líneas paralelas en un determinante \(\Delta\) obtenemos un determinante \(\Delta’\) cuyo valor es su opuesto

    1. Un determinante es cero si tiene dos líneas paralelas iguales.

  4. Cuando multiplicamos una línea de un determinante \(\Delta\) por un número \(k\) obtenemos un determinante \(\Delta’\) que es igual al producto de \(\Delta\) por \(k\).

    1. Un determinante es cero si tiene una línea de ceros.

    2. Un determinante es cero si tiene dos líneas paralelas proporcionales.

  5. El valor de un determinante no varía si a una línea sumamos (o restamos) múltiplos de líneas paralelas.

    1. Un determinante es cero si una de sus líneas es el resultado de sumar (o restar) múltiplos de líneas paraleas.

En los siguientes vídeos se analizan todas ellas, deduciéndose algunas de otras, y se estudian algunos ejemplos sencillos:

Propiedades determinantes 1 Propiedades determinantes 2

Espero que haya sido una exposición clarificadora. Si se ha entendido todo, podremos dar respuesta a la siguiente cuestión:

CUESTIÓN

Calcula \(\Delta’\) sabiendo que \(\Delta=5\):
\[\Delta=\left|\begin{array}{rrr}x&y&z\\1&3&-2\\-1&7&2\end{array}\right|\quad,\quad\Delta’=\left|\begin{array}{crc}-3&1&x-2\\21&3&y-6\\6&-2&z+4\end{array}\right|\]

\(\Delta’=-15\).

❓

\(\Delta’=15\).

\(\Delta’\) depende de las incógnitas.

✍

\(\Delta’=0\).

Bueno, ojalá no te haya resultado aburrida la exposión y el estudio de estas básicas propiedades. He intentado ser lo más breve posible y considerar sólo aquellas que ineludiblemente debes conocer.

Gracias y hasta la vista

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