Buenas y bienvenida a esta nueva publicación sobre matrices y con los determinantes. Hoy nos vamos a ocupar de estudiar el rango de una matriz a través de los determinantes.
Es posible introducirlos, partiendo de las combinaciones lineales en las líneas de una matriz, a través de la dependencia e independencia de líneas. Y proceder a su cálculo en ejemplos prácticos concretos con el método de reducción de Gauss. Luego lo comentaremos.
Primero hay que introducir la noción de menores en una matriz:
Atención: pudiera ser que se eliminen sólo filas, sólo columnas, ambas o ninguna (cero eliminadas). Por ejemplo, son menores de la matriz:
\[ A=\left(\begin{array}{rrrr}3&-1&1&-2\\6&5&0&-3\\2&4&7&0\end{array}\right)\] los determinantes (intenta averiguar dónde están ubicados los elementos y qué líneas hay que eliminar para obtenerlos):\[ \Delta_1=7\quad,\quad\Delta_2=\left|\begin{array}{rr}-1&1\\5&0\\\end{array}\right| \quad,\quad \Delta_3=\left|\begin{array}{rrr}3&1&-2\\6&0&-3\\2&7&0\end{array}\right|\]
El subíndice en ellos denota el orden.
Lo que se analiza con el rango es si esos menores son cero o no:
Tradicionalmente: «el rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo».
En la siguiente matriz, oberservemos que las dos primeras filas no son proporcionales y que la tercera es la diferencia de las dos primeras:
\[ M=\left(\begin{array}{rrrr}3&5&1&0\\1&-1&-1&2\\2&6&2&-2\end{array}\right)\] Por ello es posible encontrar menores de orden 2 distintos de cero pero todos los menores de orden 3 son nulos: su rango es 2. Ello equivale a decir que podemos encontrar 2 líneas paralelas independientes (no proporcionales) pero que 3 líneas siempre serán dependientes (una siempre será combinación de las otras dos).
Te propongo los dos vídeos siguientes para acercarte al concepto y cálculo del rango usando los determinantes. Se incluyen ejercicios con parámetros:
| Rango y determinantes 1 | Rango y determinantes 2 |
|---|---|
Como hemos comentado antes, todo está relacionado con la dependencia o independencia de las líneas que forman la matriz. Sólo se hace una observación en un vídeo del siguiente:
Una sencilla pregunta al respecto.