Determinantes y matriz inversa

¿Qué tal? Gracias por acercarte al blog compartir un ratito conmigo y con las mates. Hoy vamos a trabajar conjuntamente con las matrices y con los determinantes: estudiaremos la estrecha relación que hay entre la inversa de una matriz y los determinantes.

Fundamental la noción de adjunto de un elemento en una matriz cuadrada. Precisemos el concepto:

ADJUNTO DE UN ELEMENTO

Sea \(A\) una matriz cuadrada.

El adjunto del elemento elemento \(a_{ij}\) , designado por \(A_{ij}\), es el producto del número \(\left(-1\right)^{i+j}\) por el determinante que se obtiene al eliminar en \(A\) la fila \(i\) y la columna \(j\).

Te propongo practicar con:

ADJUNTOS

En las matrices
\[A=\left(\begin{array}{rrc}1&-1&2\\3&0&2\\-1&1&5\end{array}\right) ~\text{ y }~ B=\left(\begin{array}{rc}1&3\\-2&0\end{array}\right)\]
Calculemos los adjuntos \( A_{21} \,, A_{33} \,, B_{11} \,, B_{12}\).

Ahora estamos ya preparados para analizar el siguiente teorema que caracteriza las matrices cuadradas con inversa y que nos da una fórmula que permite su cálculo:

Sea \(A\) una matriz cuadrada:

\(A\) tiene inversa siempre y cuando sea \(\mathrm{det}\left(A\right)\neq0\).

Si \(\mathrm{det}\left(A\right)\neq0\) entonces \[A^{-1}=\frac{1}{\mathrm{det}\left(A\right)}\cdot\mathrm{Adj}\left(A\right)^{t}\] Donde \(\mathrm{Adj}\left(A\right)\) es la matriz formada por todos los adjuntos de \(A\).

Observa que se indica en primer lugar que sólo estamos hablando de matrices cuadradas: sólo está definida la inversa y el determinante de una matriz cuadrada

En la primera afirmación se aclara: sólo las matrices con determinante no nulo tienen una matriz inversa. Esas matrices cuadradas se denominan regulares. Así que para averiguar si una matriz es invertible basta con calcular su determinante: si es cero no hay inversa y si es distinto de cero sí la hay.

En la segunda afirmación se da una fórmula de cálculo usando los determinantes: hay que dividir la traspuesta de la matriz de los adjuntos entre el determinante.

Lo mejor es hacer unos ejemplitos aclaratorios. Uno primero con matrices de dos filas:

CUESTIÓN 1

Hallemos las inversas de las siguientes matrices:
\[A=\left(\begin{array}{rrr}1&-1&0\\2&1&-7\end{array}\right) ~\text{ , }~ B=\left(\begin{array}{cr}1&-1\\2&-2\end{array}\right) ~\text{ y }~ C=\left(\begin{array}{cr}1&-1\\2&0\end{array}\right)\]

Ahora uno con una matriz 3×3:

CUESTIÓN 2

Obtengamos la inversa de
\[A=\left(\begin{array}{rrr}1&-1&0\\2&1&0\\-1&3&-2\end{array}\right)\]

Finalmente una sencilla preguntita donde la matriz tiene un parámetro y así discutimos:

CUESTIÓN 3

¿Para qué valores de \(k\) tiene inversa la siguiente matriz?
\[A=\left(\begin{array}{cc}k&2\\2&k\end{array}\right)\]

¿Cómo? ¿No sabes lo que son los adjuntos en una matriz cuadrada? ¿Se te hace entonces muy cuesta arriba eso de calcular la inversa con determinantes? Vaya… Aquí tienes dos grabaciones: un primer vídeo donde se explican junto son la resolución paso a paso de la cuestión 1 y un segundo con las dos siguientes cuestiones prácticas resueltas.

Inversa y determinantes 1	Inversa y determinantes 2

Seguro que ya sabrás contestar a la siguiente

CUESTIÓN

Estudiemos para qué valores de \(m\) tiene inversa la siguiente matriz
\[ P=\left(\begin{array}{rr}m&-1\\6&2\\\end{array}\right)\]
son, respectivamente:

\(m=-3\).	❓
\(m\neq3\).
\(m\neq-3\).	✍
\(m=3\).

Bueno, aquí lo único enredoso es el cálculo de los adjuntos. Pero no presenta grandes dificultades

Espero que estés avanzando con las matrices y que estas publicaciones te sean útiles. Hasta pronto.

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