Determinantes de hasta orden 3

Hola. Continuamos en el blog con otra entrega de «Matrices y Determinantes».

Hasta ahora sólo hemos hablado de matrices. ¿Qué es un determinante? Hoy vamos a introducir el concepto: el determinante es un número asociado a una matriz cuadrada. Dicho número se calcula a través de una fórmula. Ahora bien, nosotros sólo vamos a ver esa fórmula para determinantes de matrices cuadradas de orden 1,2 y 3.

Se llama determinante de la matriz cuadrada de primer orden al número dado por:
\[\mathrm{det}\left(a_{11}\right)=a_{11}\]

Vaya, el determinante de la matriz formada por un único número es exactamente dicho número. ¡Vaya simpleza!

Pasemos a las de orden dos:

Se llama determinante de la matriz cuadrada de segundo orden al número dado por:
\[\mathrm{det}\left(\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{array}\right)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \]

Dicha fórmula recuerda a la del producto de medios y extremos en una igualdad de dos fracciones. Un ejemplo sencillo:\[\mathrm{det}\left(\begin{array}{rr}1&3\\-5&2\\\end{array}\right)=1\cdot2-\left(-5\right)\cdot3=17 \]La fórmula para orden 3 es sensiblemente más compleja:

Se llama determinante de la matriz cuadrada de tercer orden al número dado por:
\[\mathrm{det}\left(\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} \]

¡Ala! ¿Se ha salido la fórmula de la pantalla? ¿Hay que memorizar todo eso? Calma, calma. En el siguiente vídeo lo vemos todo despacito y con unas reglitas sencillas para proceder en la práctica si estamos calculando manualmente:

Os propongo una sencilla cuestión: el cálculo de tres determinantes:

−3, 8, 5.	❓
−3, 0, 5.
3, 0, 15.	✍
Todos son cero.

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