Integral definida y área

Hola. Hoy vamos a avanzar en el conocimiento de las integrales definidas.

Ya sabemos calcularlas mediante la Regla de Barrow y hemos visto sus propiedades básicas. Y hoy vamos a ver para qué se introdujeron las integrales definidas: para calcular el área de recintos delimitados por gráficas de funciones continuas.

¿Sabrías obtener las áreas de los recintos que se detallan en la siguiente cuestión?

Consideremos las funciones definidas por
\[f\left(x\right)= x^2 \quad , \quad g\left(x\right)=\operatorname{sen}\left(x\right)\]
Obtengamos el área del recinto delimitado por la gráfica de la función y el eje de abscisas

  1. en el intervalo \(\left[0\,,1\right]\) para \(f\).
  2. en el intervalo\(\left[0\,,2\pi\right]\) para \(g\).

En el siguiente vídeo se analiza todo ello detenidamente:

Tomando como punto de partida lo visto antes, esto se generaliza a continuación:

Sea \(f\) una función continua en el intervalo compacto \(\left[a\,,b\right]\) y consideremos el recinto \(\mathscr{R}\) delimitado por la gráfica \(y=f\left(x\right)\), el eje de abscisas y las rectas \(x=a\) y \(x=b\).

El área de dicho recinto viene dado por
\[a\left(\mathscr{R}\right)= \int_{a}^{b} \left|f\right|\]

Te propongo el siguiente ejercicio para comprobar que, efectivamente, el área que proporciona la integral definida es la que nosostros hemos estudiado desde pequeñitos para recintos elementales como rectángulos o triángulos. Y gracias a las propiedades de las integrales (aditividad, linealidad, cambios de variables,…) las de cualquier polígono.

Sean \(b >0 \,, h>0\) dos números reales y consideremos las funciones \(f\) y \(g\) definidas por:

\[f\left(x\right)= h \quad , \quad g\left(x\right)=\frac{h}{b}x\]

  1. Calculemos las integrales definidas de esas funciones en \(\left[0\,,b\right]\).
  2. ¿Qué polígonos delimitan las gráficas de dichas funciones con el eje de abscisas en dicho intervalo?
  3. Obtengamos las áreas de dichos polígonos y comparemos con las integrales antes calculadas

RESOLUCIÓN

Espero que se haya sido clarificador y servido de ayuda. Gracias y hasta la próxima.

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