Sean \(f\) y \(g\) funciones continuas en cada punto de un intervalo compacto \(\left[a\,,b\right]\).

1. Para cualesquiera números \(\alpha\) y \(\beta\) se tiene:
   \[ \int_{a}^{b}\left(\alpha f + \beta g \right) = \alpha \int_{a}^{b} f + \beta \int_{a}^{b} g \]
2. Si \(f\) es no negativa en el intervalo, entonces su integral definida en el intervalo es también no negativa:
   \[ f \geq 0 \text{ en } \left[a\,,b\right] \rightarrow \int_{a}^{b} f \geq 0 \]
3. Si \(c\) es un número del intervalo entonces:
   \[\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f \]

Calculemos:

1. \(\displaystyle{ \int_{0}^{2\pi}\left(2\operatorname{sen}{x}+3\cos{x}\right)\,{\rm d}x }\)
2. \(\displaystyle{ \int_{0}^{2}f\left(x\right)\,{\rm d}x }\quad ,,\)
   \[f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} x & \text{si } & x\leq1 \\ x^2+x-1 & \text{si } & x>1 \\ \end{array}\right. \]

Deduzcamos de la Regla de Barrow las siguientes propiedades.

Sean \(f\) y \(g\) funciones continuas en cada punto de un intervalo compacto \(\left[a\,,b\right]\).

1. \(f\geq0 \rightarrow \displaystyle{ \int_{a}^{b}f \geq 0 }\)
2. \(f \leq g \rightarrow \displaystyle{ \int_{a}^{b}f \leq \int_{a}^{b}g }\)