Comenzamos con esta entrada unas serie dedicada a «Integrales Definidas», siendo fundamental que ya sepamos calcular las primitivas de las funciones elementales.

En los libros, manuales y cursos sobre integrales se comienza su estudio con el análisis del problema del cálculo de áreas. Habitualmente se da una introducción histórica, se estudian las sumas de Riemann, se da una definición teórica de integral y se estudian sus propiedades. A continuación se estudia la integrabilidad de ciertas funciones (continuas y monótonas acotadas), se estudia el Teorema de la Media y se pasa al Teorema Fundamental. Finalmente llegamos a la Regla de Barrow y por fin podemos hacer ejercicios y problemas.

Esto está muy bien, pero para los aprendices noveles no tanto. Muchos conceptos abstractos, propiedades que no se sabe muy bien para qué son útiles y poca resolución de problemas. Es por ello que propongo comenzar por el final: definir la integral definida a través de la Fórmula de Barrow. Es perfectamente posible tal construcción, aunque aparentemente sólo la definamos para funciones continuas que tengan una primitiva. En la práctica no lo notaremos, pues conocemos las primitivas de las funciones elementales.

Así se obtienen rápidamente las propiedades y se observa fácilmente que proporciona el área de recintos conocidos. De modo que puede usarse para generalizar el concepto de área de un polígono. Y la formulación del Teorema Fundamental es simple. Al final podemos introducir las sumas de Riemann para funciones continuas y enunciar, como propiedad, la relación de éstas con la integral definida y su propia existencia. Todo al revés pero llegando al mismo punto.

En la carpeta de materiales tienes abundantes recursos para su estudio: el texto con el desarrollo, numerosos ejemplos y autoevaluación, el esquema con las ideas fundamentales y las fórmulas, exámenes resueltos, problemas propuestos en pruebas de acceso,…

Bien como definición o como propiedad, aquí tenemos la fundamental Fórmula de Barrow para las integrales definidas:

La encontramos Habitualmente escrita de la siguiente forma:
\[\int_{a}^{b}f=\Bigl[F\left(x\right)\Bigr]_{a}^{b}=F\left(b\right)-F\left(a\right)\] Algunas notas sobre ella:

1. Retengamos que la integral definida es un número (que tiene un significado que ya veremos), en contraposición a la integral indefinida que es un función ( conjunto de funciones).
2. Importante hacer notar que la definición no depende de la primitiva elegida, pues en esas condiciones dos primitivas distintas sólo se diferencian en una constante. Y al restar, dicha constante se anula.
3. Nótese que la fórmula también tiene sentido si los límites de integración son iguales (es cero) e incluso si el inferior es un número mayor que el superior. En estos casos:
   \[\int_{a}^{a}f=F\left(a\right)-F\left(a\right)=0\]\[\int_{b}^{a}f=F\left(a\right)-F\left(b\right)=-\int_{a}^{b}f\]

A ver si somos capaces de hacer esto:

¿No tenemos ni idea? ¿Quieres comprobar? Te propongo los siguientes vídeos, donde se estudian estas cuestiones y se calculan esas integrales:

Espero que se haya comprendido la famosa fórmula y cómo se utiliza en la práctica.

Gracias y hasta pronto.