Solución:

Estamos ante la integral de una función racional donde el grado del numerador no es inferior al del denominador: habrá que efectuar la división entera de polinomios:
\[\left( x^3+x^2 \right) : \left( x^2+x-2 \right) \; \rightarrow \;
\left\{ \begin{array}{l}c\left( x \right)=x \\[2mm]r\left( x \right)=2x\end{array}\right. \]
Volviendo ahora a nuestra primitiva:
\[I_1= \int\! \left(x+\frac{2x}{x^2+x-2}\right) {\rm d}x \quad [*] \]
En esta última fracción, como es:
\[ x^2+x-2=0 \; \rightarrow \; x=1 \,, x=-2 \]
podemos descomponer en fracciones simples así:
\[ \frac{2x}{ \left(x-1\right) \left(x+2 \right) } =\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+2}=\frac{a \left(x+2 \right)+b \left(x-1\right)}{ \left(x-1\right) \left(x+2 \right)} \]
Igualando los numeradores:
\[2x = a \left(x+2 \right)+b \left(x-1\right) \; \longrightarrow \;
\left\{ \begin{array}{l}
\mbox{si } x=1 \rightarrow 2 = 3a \rightarrow a =\dfrac{2}{3} \\[3mm]
\mbox{si } x=-2 \rightarrow -4 = -3b \rightarrow b = \dfrac{4}{3}
\end{array}\right. \]
De esta descomposición y [*] resulta:
\[ I_1 = \int \! x \,\mathrm{d}x + \int \! \frac{\frac{2}{3}}{x-1}\,\mathrm{d}x+ \int \! \frac{\frac{4}{3}}{x+2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}x^2+\frac{2}{3}\ln\left| x-1\right|+\frac{4}{3}\ln\left| x+2\right|+C \]

Solución:

Descomponemos en fracciones simples:
\[\frac{x^2+x+3}{(x-2)(x+1)^2} = \frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{(x+1)^2}\]
Efectuando esa suma e igualando numeradores:
\[x^2+x+3 = a(x+1)^2+b(x-2)(x+1)+c(x-2)\]
Primero hacemos
\[x=-1\rightarrow 3=c\cdot(-3) \rightarrow c=-1\]
Ahora
\[x=2 \rightarrow 9 = a\cdot 9\rightarrow a=1\]
Y por último, un valor cualquiera para la constante que nos queda:
\[x=0\rightarrow 3=a-2b-2c=1-2b+2\rightarrow b=0\]
Ahora, por fin:
\[I_2 = \int\!\left(\frac{1}{x-2}+\frac{-1}{(x+1)^2}\right){\rm d}x=\ln|x-2|+\frac{1}{x+1}+C \]

Solución:

Integramos por partes, tomando \(4x-3\) para integrar y el arco-tangente para derivar:
\[I_3= \left(2x^2-3x\right)\arctan\left(x\right) – \int \left(2x^2-3x\right)\cdot\frac{1}{1+x^2}\,{\rm d}x = \left(2x^2-3x\right)\arctan\left(x\right) – \int\frac{2x^2-3x}{1+x^2}\,{\rm d}x \]
Habrá que efectuar la división entera de polinomios en ésta:
\[\left( 2x^2-3x \right) : \left( x^2+1 \right) \; \rightarrow \;
\left\{ \begin{array}{l}c\left( x \right)=2 \\[2mm]r\left( x \right)=-3x-2\end{array}\right. \]
Volviendo a la integral (cuidado con los signos, no nos liemos):
\[I_3=\left(2x^2-3x\right)\arctan\left(x\right)-\int2\,{\rm d}x+\int\frac{3x+2}{1+x^2}\,{\rm d}x\]
En ésta, que es relativamente sencilla, descomponemos en dos sumandos: uno con numerador \(3x\) para obtener un logaritmo y otro con con numerador \(2\) para obtener un arco tangente:
\[I_3= \left(2x^2-3x\right)\arctan\left(x\right) – 2x +\frac{3}{2} \ln\left(1+x^2\right)+2\arctan\left(x\right) + C \]