Punto crítico y curvatura en una función exponencial

Comenzamos una seria de problemas con cálculo de parámetros (y más) sobre «Aplicaciones de las Derivadas». Hoy veremos una función exponencial definida a través de una fórmula con un parámetro o coeficiente literal.

Primero calcularemos ese coeficiente conociendo la abscisa de un punto crítico (derivada nula) y a continuación estudiaremos su monotonía, extremos, concavidad y convexidad así como inflexiones.

Aquí tenemos el enunciado del problema del día, que ha sido propuesto en Pruebas de Acceso a la Universidad:

Consideremos la función \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) definida mediante
\[f\left(x\right)=\left(x+a\right)\operatorname{e}^{-x}\]

Halla \(a\) sabiendo que \(x=3\) es un punto crítico.

Determina si éste es un extremo.

Estudia sus intervalos de curvatura y averigua sus puntos de inflexión.

Puedes trabajarlo con el siguiente vídeo, donde está detalladamente resuelto

AVISO IMPORTANTE. Observa que hay una errata al final del vídeo (19:45), cuando se obtiene la ordenada del punto de inflexión: se indica que es \(y=2{\rm e}^{-2}\) cuando en realidad es \(y=2{\rm e}^{-4}\).

Como viene siendo habitual, propongo una…

CUESTIÓN

Consideremos la misma función y supongamos que se hubiese dado como dato que "tiene para \(x=3\) una inflexión". ¿Cuál sería entonces el valor del parámetro?

El mismo valor del vídeo.	❓
Sería \(a=-1\).
Sería \(a=1\).	✍
No hay solución, porque para ningún valor del parámetro hay inflexión.

Un problemita con parámetro inicial y estudio completito después. Ojalá me haya explicado bien y haya servido para algo.

Pido disculpas por el error.Gracias por la visita y un saludo.

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