Continuamos nuestro estudio de «Aplicaciones de las Derivadas». De la mano de una función racional, vamos a repasar cómo obtener sus intervalos de monotonía y sus extremos relativos.

Vamos a estudiar también su continuidad y algo que es muy importante en el estudio de todas las magnitudes y variables: la obtención de sus valores extremos en un intervalo compacto.

A un intervalo cerrado y acotado de la recta real se le llama compacto. Así un intervalo compacto es \(I=\left[a\,,b\right]\) donde sus \(a\) y \(b\) son números reales. Una propiedad fundamental de las funciones continuas es que alcanzan en todo intervalo compacto, contenido en su dominio, un valor máximo y un valor mínimo. Esta propiedad es denominada Teorema de Weirstrass para las funciones continuas.

Para garantizar la conclusión, la función debe ser continua y que no sirve cualquier intervalo. Así, por ejemplo, la función que estudiamos a continuación no alcanza valores extremos en \(I=\left[-2\,,2\right]\) -porque no es continua en él-, ni tampoco en \(I=\left(1,4\right)\) -porque el intervalo no es cerrado- ni en \(I=\left[2,+\infty\right)\) -porque no es acotado-.

Pasemos ya al estudio de nuestro problema del día.

En el vídeo enlazado a continuación se ha estudiado detalladamente el problema antes propuesto:

Como autoevaluación, intenta responder a la siguiente…

Espero haber sido claro en la exposión y que todo se haya comprendido. ¡Nos vemos!