Aquí ya listos para concluir el curso con el estudio de nuestra última lección: Introducción a las Derivadas.
¡Preparad las palomitas que hoy hay sesión de doble peli! Bueno, os prometo que no va a ser largo. Entre los vídeos y la tarea no más de 50 minutos; vamos, lo que dura una clase normal. Muy importante que los veais ambos: el primero sin cálculos ni fórmulas… Sólo unas nociones e ideas sencillas. El segundo todo lo contrario: cómo derivar una función. Esto será fundamental en tus posteriores estudios científicos.
Vamos a comenzar con una breve introducción a esa introducción :-). Lo que veremos no es muy complicado: ideas intuitivas a partir de unas gráficas. Comenzamos con una gráfica discontinua. ¿Recuerdas? Y luego vamos a analizar qué gráficas continuas tienen recta tangente. Esto parece sencillo, porque estamos acostumbrados a estudiarla en curvas simples.
Imaginemos una recta y un circunferencia. Hay tres posiciones relativas, como podemos ver en la siguiente imagen de wikipedia:
La recta \(a\) es exterior (no se tocan), la recta \(b\) la atraviesa (son secantes en dos puntos \(A\) y \(B)\) y la recta \(c\) sólo tiene un punto de contacto \(T\). Ésta es tangente a la circunferencia.
Pero cuando se estudian curvas más complejas… no es tan simple. Porque ¿qué es la recta tangente a una curva? Si, sí… la idea la tenemos: recta que roza a una curva en un punto de modo que en las proximidades no hay otro contacto. El problema es ¿qué quiere decir «que la roza»? Esto en matemáticas no es admisible. Hay que investigarlo, analizarlo y dar una definición satisfactoria. A ello vamos.
Descarga el pdf de la lección 10, que tienes como siempre en la carpeta de materiales del curso. Ah, y muy conveniente que tengas a mano también el esquema de la lección. Viene todo lo básico y necesario, muy concentradito, incluyendo el formulario.
Aquí nuestro primer vídeo, un corto de 15 minutos para lanzar tres ideas básicas: curvas suaves, tangencia y derivada.
De nuevo se ha presentado a las curvas como caminos. Observa que en un punto concreto pueden darse estas tres posibilidades:
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Discontinua.
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Continua con pendientes (derivadas) laterales diferentes. Es lo llamado punto anguloso.
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Continua con pendientes (derivadas) laterales iguales. Es lo llamado punto suave.
Sólo en el último caso hay recta tangente y se puede intentar hallar su pendiente \(m\): este número es llamado derivada de la función en dicho punto.
Intenta responder a esta
Una vez visto el vídeo y respondida esa simple cuestión, vayamos a la segunda sesión.
Como se menciona en el vídeo, si la gráfica \(y=f(x)\) es suave para \(x=x_0\) se dice que \(f\) tiene derivada para ese valor y a la pendiente en dicho punto se se llama derivada de la función, escribiéndose \(m=f'(x_0)\).
¿Pero cómo se calcula ese número? Pues mediante un razonamiento más o menos complejo, se llega a la siguiente fórmula que puede tomarse como definición.
Guaaauuuuuu. Y eso… ¿cómo se calcula? Bueno, no os preocupéis. Ahora veremos cómo obtener la función derivada de las funciones elementales de forma simple.
Derivando polinomios:
Vamos al tajo:
Ten en cuenta que la mitad de la asignatura Matemáticas II toma como base la noción de derivada. ¡E igual si vas a estudiar Física! No es momento de abandonar. Hemos sido fuertes hasta ahora. ¡Sólo nos quedan un par de semanas! ¡¡Ánimo!!