Buenas y bienvenida a otro capítulo del estudio de los Límites y Continuidad de Funciones.

Hoy algo muy ligerito, como es el estudio de las tendencias en el infinito de funciones polinómicas, pero a través de su gráfica.

IMPORTANTE: vuelve a descargar el pdf de la lección 9, pues he hecho algunos cambios y eliminado algunas erratas.

Vamos con un vídeo donde se realiza un estudio de las tendencias de una función polinómica, o polinómica a trozos, cuando la variable independiente tiende hacia más o menos infinito. Es decir: ¿cómo se prolonga la gráfica de un polinomio? Es algo que ya hemos visto, pero aquí repasamos y asentamos.

Funciones polinómicas: Tendencias en el infinito (gráficamente).

Observa que la conclusión es muy simple: si \(p(x)\) es un polinomio, entonces para \(x\to\pm\infty\) es \(p(x)\to\pm\infty\). Sólo puede cambiar el signo de una situación a otra.

Y si imaginamos la gráfica como un camino, entonces esto es simple, pues tendremos estas cuatro situaciones:

• Hacia el noroeste (izquierda-arriba): \(x\to-\infty\) es \(p(x)\to+\infty\)

• Hacia el suroeste (izquierda-abajo): \(x\to-\infty\) es \(p(x)\to-\infty\)

• Hacia el nordeste (derecha-arriba): \(x\to+\infty\) es \(p(x)\to+\infty\)

• Hacia el sudeste (derecha-abajo): \(x\to+\infty\) es \(p(x)\to-\infty\)

Una sencilla cuestión a ver si lo hemos captado:

CUESTIÓN

Sea \(y=p(x)\) una parábola convexa e \(y=q(x)\) una parábola cóncava.

Es \(p(-\infty)=-\infty\) y \(q(+\infty)=+\infty\).	❓
Es \(p(-\infty)=+\infty\) y \(q(+\infty)=+\infty\).
Es \(p(-\infty)=+\infty\) y \(q(+\infty)=-\infty\).	✍
Es \(p(-\infty)=+\infty\) y \(q(+\infty)=+\infty\).

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Sugerencia:

La parábola convexa tienes las ramas hacia arriba (norte) y la parábola cóncava hacia abajo (sur).

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Solución:

Los límites son todos los siguientes:

\[\lim_{x\to\pm\infty}p(x)=+\infty \quad , \quad \lim_{x\to\pm\infty}q(x)=-\infty\]

Cerramos con la tarea de hoy, en la que vamos a trabajar con Geogebra:

PLAN DE TRABAJO

1. Vamos a usar Geogebra (también podemos usar la app del móvil Geogebra CAS). Paso a paso:

   • Vamos a www.geogebra.org y pinchamos sobre Geogebra Classic (o abrimos en nuestro dispositivo Geogebra CAS)
   • Antes de nada: ¿cómo se escribe infinito en Geogebra. Pues muy fácil: basta escribir inf (así, tal cual) o en el teclado virtual buscar el símbolo \(\infty\).
   • Primera celda: escribimos f(x) = Si(x ≤ 0, x^3 – x + 1, 0 < x < 1, 1, x ≥ 1, x^2 – x + 1).
   • Observa que se trata de una función polinómica a trozos (tres). Intenta, a partir de la gráfica, averiguar las tendencias para \(x\to\pm\infty\).
   • Segunda celda: escribimos Límite(f,−∞).
   • Tercera celda: escribimos Límite(f,∞).
   • ¿Averiguaste correctamente las tendencias?
   • Menú principal (triple raya arriba a la derecha) → Descargar como → ggb → tarea-20200518.ggb

2. Sube el archivo de Geogebra usando la tarea habilitada para hoy en nuestra moodle. No olvides tu comentario.

3. Si tienes dudas, puedes preguntar en el foro, abriendo un debate llamado ‘duda tarea 18 de mayo’ o enviarme un mensaje privado en la misma moodle.

4. Estaré conectado a la plataforma desde las 18:00 hasta las 19:00 horas, de hoy 18 de mayo. Puedes enviarme consultas por mensajería interna y tienes hasta las 20:00 horas para culminar tu tarea. Cuidado, hoy no se podrá superar esa hora.

5. Tiempo máximo estimado: 30 minutos.

Observa que puedes cambiar la fórmula del polinomio en Geogebra y practicar hasta conseguir determinar las tendencias sin dudar y rápidamente.

Y ahora, en vídeo, la resolución manual de los ejercicios 5 y 6 del texto:

IMPORTANTE: no olvides corregir con estos dos vídeos los ejercicios sobre continuidad de funciones racionales.