Límites y Continuidad de Funciones

Matemáticas I

Límites y Continuidad de Funciones - Actividades

En este bloque se propone la realización de unas actividades. Se trata de unos ejercicios, problemas o cuestiones. Contaremos con la ayuda de los recursos señalados en cada una o con una resolución guiada.

Una vez concluida la actividad que estemos realizando, procederemos según se indica en cada una de ellas. Posteriormente podremos entregarla o compartirla siguiendo el procedimiento convenido para tal fin.

Actividad 1

Datos

Consideremos las funciones \(f\) y \(g\) definidas como siguen:

\[f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} x^2+4x & \text{si} & x\leq1 \\x-2 & \text{si} & x>1 \end{array}\right. \quad , \quad g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ccc} x+1 & \text{si} & x\leq1 \\2x^2+x & \text{si} & x>1 \end{array}\right. \]

Así como la función \(h\) cuya gráfica se muestra:

Gráfica de la función h

Recursos

Los ejemplos de las páginas 4 y 5 del texto de la lección.

Cuestionario

Completemos el esbozo que sigue:

  1. La función \(f\) sólo puede ser discontinua para \(x\) = . En este punto:
    • El valor es \(f(1)\) =
    • El límite por la izquierda es \(f(1-)\) =
    • El límite por la izquierda es \(f(1+)\) =
  2. Por ello ahí \(f\) es  
  3. La función \(g\) sólo puede ser discontinua para \(x\) = . En este punto:
    • El valor es \(g(1)\) =
    • El límite por la izquierda es \(g(1-)\) =
    • El límite por la izquierda es \(g(1+)\) =
  4. Por ello ahí \(g\) es  
  5. En la gráfica vemos que \(h\) para \(x=2\) es  
  6. Y en la gráfica de \(h\) para \(x=3\) apreciamos que son
    • \(h(3)\) =
    • \(h(3-)\) =
    • \(h(3+)\) =
  7. Por ello ahí \(h\) es
    continua
    discontinua evitable
    discontinua de salto

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Actividad 2

Datos

Consideremos la función \(f\) definida como sigue:

\[f\left(x\right)=\frac{3x-3}{x^2-x}\]

Recursos

Último ejemplo de la página 6 del texto de la lección.

Cuestionario

Completemos el esbozo que sigue:

  1. Los ceros del denominador, ordenados de menor a mayor, son: \(x\) = , \(x\) = .
  2. Por ello \(f\) para dichos valores:  
  3. Para todos los valores distintos de los anteriores la función es
    no lo sé
    continua
    discontinua evitable
    discontinua de salto finito
    discontinua de salto infinito
  4. Estudiemos la continuidad para \(x=0\)
    1. Para \(x=0\) el denominador es cero, por ello en ese punto el valor es  
    2. Al calcular el límite de \(f(x)\) para \(x\to0\) obtenemos: \[ \lim_{x\to 0}\frac{3x-3}{x^2-x}=\frac{-3}{0} \] por ello ese límite es  
    3. Para averiguar el signo en el anterior sustituimos \(x=-0.001\) obteniendo \(f(0-)=\)   y \(x=+0.001\) obteniendo \(f(0+)=\)  
    4. De lo anterior deducimos que \(f\) para \(x=0\) es
      continua
      discontinua evitable
      discontinua de salto finito
      discontinua de salto infinito
  5. Estudiemos la continuidad para \(x=1\)
    1. Para \(x=1\) el denominador es cero, por ello en ese punto el valor es  
    2. Al calcular el límite de \(f(x)\) para \(x\to1\) obtenemos: \[ \lim_{x\to 1}\frac{3x-3}{x^2-x}=\frac{0}{0} \] por ello ese límite es  
    3. Y entonces hemos de   . Al hacerlo y volver a tomar límite obtenemos  
    4. De lo anterior deducimos que \(f\) para \(x=1\) es
      continua
      discontinua evitable
      discontinua de salto finito
      discontinua de salto infinito

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Actividad 3

Datos

Consideremos la función \(f\) cuya gráfica es la siguiente:

Gráfica de la función f

Recursos

Ejercicio 1 de la Autoevaluación del texto de la lección así como los vídeo 4 y el vídeo 5 que ya vimos en su día.

Cuestionario

Completemos el esbozo que sigue (copia y pega " ∅ " para " no existe " y " ∞ " para " infinito "):

  1. La función sólo es discontinua para las tres abscisas siguientes, ordenadas de menor a mayor:

    \(a\) = , \(b\) = , \(c\) =

  2. Para \(x=a\) la función es  , siendo valor y límites:
    • \(f(a) = \)
    • \(f(a-) = \)
    • \(f(a+) = \)
  3. Para \(x=b\) la función es  , siendo valor y límites:
    • \(f(b) = \)
    • \(f(b-) = \)
    • \(f(b+) = \)
  4. Para \(x=c\) la función es  , siendo valor y límites:
    • \(f(c) = \)
    • \(f(c-) = \)
    • \(f(c+) = \)
  5. Y los límites de prolongación son:
    • \(f(-\infty) = \)
    • \(f(+\infty) = \)
  6. En cuanto a sus asíntotas:
    • La asíntota vertical de \(f\) es =
    • La asíntota horizontal de \(f\) es =

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